Журнал Математической физики, Анализа, Геометрии
2018, vol. 14, No 3, pp. 362-388   https://doi.org/10.15407/mag14.03.362     ( к оглавлению , назад )
https://doi.org/10.15407/mag14.03.362

Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case)

L. Pastur and M. Shcherbina

B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Nauky Ave., Kharkiv, 61103, Ukrain
E-mail: pastur@ilt.kharkov.ua
shcherbina@ilt.kharkov.ua

Received September 11, 2018.

Анотація

Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним $L^{1/2}$, де $L$ є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за $L$, коли $L \to \infty$. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу ми надаємо асимптотичну формулу для "заплутаної" ентропiї вiльних фермiонiв при ненульовiй температурi.

Mathematics Subject Classification 2000: 47H10, 60F05, 60F15.
Ключові слова: випадковi оператори, асимптотичнi формули слiду, граничнi теореми.

Download 446372 byte View Contents