Журнал Математической физики, Анализа, Геометрии
2017, vol. 13, No 2, pp. 119-153   https://doi.org/10.15407/mag13.02.119     ( к оглавлению , назад )
https://doi.org/10.15407/mag13.02.119

Maxwell-Bloch Equations without Spectral Broadening: Gauge Equivalence, Transformation Operators and Matrix Riemann-Hilbert Problems

M.S. Filipkovska, V.P. Kotlyarov, and E.A. Melamedova (Moskovchenko)

Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, Харьков, 61103, Украина
E-mail: filipkovskaya@ilt.kharkov.ua; kotlyarov@ilt.kharkov.ua; melamedova@ilt.kharkov.ua

Аннотация

Изучена смешанная начально-краевая задача для нелинейных уравнений Максвелла-Блоха без спектрального уширения с использованием метода обратной задачи рассеяния в форме матричной задачи Римана- Гильберта. Для этой цели используются операторы преобразования, существование которых тесно связано с задачами Гурса с нетривиальными характеристиками. Для получения разрешимости возникающих задач Гурса применяются калибровочные преобразования, которые позволяют получить задачи Гурса канонического типа с прямолинейными характеристиками, разрешимость которых известна. Операторы преобразования и калибровочные преобразования позволяют найти решения типа Йоста уравнений Абловица-Каупа-Ньюэля-Сегура с хорошо контролируемой асимптотикой по спектральному параметру вблизи особых точек. Это дает хорошо поставленную регулярную матричную задачу Римана-Гильберта в смысле выполнимости принципа симметрии Шварца и положительной определенности матрицы скачка на вещественной оси. Эта матричная задача порождает искомое решение смешанной задачи для уравнений Максвелла-Блоха.

Анотацiя

Вивчено змiшану початково-крайову задачу для нелiнiйних рiвнянь Максвелла-Блоха без спектрального уширення з використанням методу оберненої задачi розсiяння у формi матричної задачi Рiмана-Гiльберта. Для цiєї мети використано оператори перетворення, iснування яких тiсно пов'язане iз задачами Гурса з нетривiальними характеристиками. Для отримання можливостi розв'язання задач Гурса, що виникають, використано калiбрувальнi перетворення, якi дозволяють отримати задачi Гурса канонiчного типу з прямолiнiйними характеристиками, можливiсть розв'язання яких вiдома. Оператори перетворення i калiбрувальнi перетворення використанi для побудови розв'язкiв типу Йоста для рiвнянь Абловiца-Каупа-Ньюела-Сегура з добре контрольованою асимптотикою за спектральним параметром поблизу особливих точок. Це дає добре поставлену регулярну матричну задачу Рiмана-Гiльберта в сенсi здiйсненностi принципу симетрiї Шварца. Ця матрична задача породжує шуканий розв'язок змiшаної задачi для рiвнянь Максвелла- Блоха.

Mathematics Subject Classification 2000: 34L25, 34M50, 35F31, 35Q15, 35Q51.
Ключевые слова: уравнения Максвелла-Блоха, калибровочные преобразования, операторы преобразования, матричные задачи Римана-Гильберта.

Download 430294 byte View Contents